0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Как найти основание системы счисления. Системы счисления — идем на урок информатики

Содержание

Системы счисления

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

Системы счисления бывают:

  • непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа);
  • позиционными (значение цифры зависит от позиции).

Непозиционные системы счисления

Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.

Позиционные системы счисления

Основание системы счисления —

количество различных цифр, используемых в этой системе.

отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

По определению веса разряда

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Тогда, обозначив цифры числа как ai, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

Например, для системы счисления с основанием 4:

1302.24 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1

Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:

1302.24 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1 =

= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =

= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

  1. пронумеровать разряды исходного числа;
  2. записать сумму, слагаемые которой получаются как произведения очередной цифры на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда;
  3. выполнить вычисления и записать полученный результат (указав основание новой системы счисления — 10).

Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:

13024 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114

Иначе это можно записать так:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 13024

Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно

Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.

В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

  1. Выполнить последовательное деление с остатком исходного числа и каждого полученного частного на основание новой системы счисления.
  2. Записать вычисленные остатки, начиная с последнего (т.е. в обратном порядке)

Системы счисления. Перевод из одной системы в другую.

1. Порядковый счет в различных системах счисления.

В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».

Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.

Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.

Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):

1111
21022
311103
4100114
51011210
61102011
71112112
810002213
9100110014
10101010120
11101110221
12110011022
13110111123
14111011224
15111112030

Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):

11
22
33
44
55
66
77
88
99
10
11
1210
1311
1412
1513

2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.

Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.

Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.

3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.

Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.

Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:

Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.

Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.

Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.

4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).

Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.

Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:

Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.

11
102
113
1004
1015
1106
1117

Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.

11
102
113
1004
1015
1106
1117
10008
10019
1010A
1011B
1100C
1101D
1110E
1111F

5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.

Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.

Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.

Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:

Урок информатики по теме «Знакомство с системами счисления»

Цель: создать условия для осознания и осмысления нового учебного материала.

Оборудование: мультимедийный проектор и проекционный экран, ПК, распечатанные на всех обучающихся опорные конспекты “Основные понятия” и “Алфавит различных позиционных систем”, ассоциативные карточки, карточки для проведения рефлексии.

Предварительная работа: группа обучающихся (2-3 человека) под руководством учителя должны подготовить презентацию об истории развития систем счисления.

Тип урока: урок изучения нового материала и первичное его закрепление.

Место урока в учебном плане: вводный урок по теме “Арифметические основы компьютера”.

Задачи:

    Учебная – познакомить с такими понятиями как система счисления, цифры, позиционная и непозиционная система счисления, основание и алфавит позиционной системы счисления, кратко рассмотреть историю развития систем счисления, научить составлять алфавит любой позиционной системы счисления и пользоваться правилом счета.
  • Развивающая – развитие памяти, внимания, умения анализировать, делать выводы. Повышение информационной культуры учащихся, интереса к предмету “Информатика”.
  • Воспитательная – развитие познавательного интереса учащихся, ответственности, самостоятельности.
Этап урокаКомментарийВремя
1Организационный моментПриветствие, настрой обучающихся на работу, установка контакта между учителем и учениками2 минуты
2Вводная часть1) Актуализация – связь с предыдущей темой

2) Переход к теме данного урока и объявление темы

3) Мотивация обучающихся

Ход урока

Этап 1. Организационный момент

Этап 2. Вводная часть

Учитель: Сегодня мы начинаем изучать новый раздел курса информатики “Арифметические основы компьютера”. (Приложение1, слайд1)

В качестве эпиграфа к сегодняшнему уроку возьмем два высказывания: первое – “Всё есть число, и числа управляют миром”. Так считали пифагорейцы, последователи философского учения Пифагора, античного ученого, известного вам из математики. ( слайд2)

А второе – высказывание академика А. Дородницына по поводу данного утверждения пифагорейцев: “Это, конечно, мистика. Но числа дают возможность человеку управлять миром, и в этом нас убеждает весь ход развития науки и техники”.

Ответьте на вопрос: Почему оба высказывания актуальны и в настоящее время?

Ученики: В настоящее время все большее значение приобретают информатизация общества и компьютеризация практически всех сфер деятельности человека. При этом информация, обрабатываемая и передаваемая с помощью компьютера, представляется в виде двоичного кода, т.е в виде последовательности нулей и единиц. Т.е. мы можем сказать, что информация – это числа, и эти числа действительно дают возможность человеку управлять различными процессами с помощью цифровой техники и науки информатики.

Учитель: Итак, компьютер обрабатывает информацию представленную в виде последовательности нулей и единиц. Т.о. одними из наиболее важных информационных процессов, связанных с вычислительной техникой, являются процессы кодирования и декодирования информации. (слайд3)

Кодирование обеспечивается устройствами ввода информации (например, клавиатура), и заключается в том, что входная информация, понятная человеку (например, текст), преобразуется в форму, воспринимаемую компьютером, т.е. в двоичный код.

Декодирование обеспечивается устройствами вывода (например, монитор) и заключается в том, что данные из двоичного кода преобразуются в форму, понятную человеку.

Давайте вспомним, почему обрабатываемую компьютером информацию необходимо преобразовывать именно в двоичный код.

Ученики: Это связано с возможностью создания электронного элемента, который может устойчиво находиться в одном из двух состояний: намагничено – не намагничено, есть ток – нет тока. Эти два устойчивых состояния и кодируются 1 и 0.

Учитель: О том, как происходит кодирование и декодирование текстовой и графической информации, вы уже знаете. Рассмотрим кодирование числовой информации. (слайд4)

Числовую информацию, с которой работает компьютер, можно разделить на два вида:

  1. числа, содержащиеся в тексте;
  2. числа, участвующие в вычислениях.

При кодировании числа, содержащегося в тексте, каждая цифра, входящая в запись числа заменяется соответствующим ей двоичным кодом, зафиксированным в специальной кодовой таблице, которая является просто соглашением между разработчиками компьютерной техники и программного обеспечения.

Но если числа участвуют в вычислениях, то осуществляется их преобразование в другой двоичный код.

Числа переводятся из обычных арабских (для записи которых используется 10 цифр, 0 .. 9) в соответствующие им двоичные (для записи которых используются только два знака 0 и 1) для того, чтобы компьютер мог выполнить вычисления в которых эти числа участвуют.

Это примерно то же самое, что и перевод текста с одного языка на другой. В мире существует много различных языков и название одного и того же предмета можно представить на любом из них. И существует много различных систем записи чисел (арабская, римская, двоичная) и одно и то же число можно представить в любой из этих систем.

А для того, чтобы понять, как это происходит, необходимо знать общие сведения о системах записи чисел.

Системы записи чисел по-другому называются системами счисления. Т.о. объектом нашего изучения будут системы счисления, а тема сегодняшнего урока “Знакомство с системами счисления”.

Вы уже знакомы, причем очень хорошо знакомы, с такими системами счисления, как арабская и римская. Поэтому возникает вопрос, зачем снова изучать все то, что и так уже хорошо известно?

А знаете ли вы, что…

  • … русский математик Н.Н. Лузин считал: “Преимущества 10 системы счисления не математические, а зоологические” и если бы у человека было на руках 12 пальцев, то возможно мы сейчас пользовались бы не десятичной, а двенадцатеричной системой счисления?
  • … современная десятичная система счисления зародилась в Индии, в V веке, хотя и принято ее называть арабской?
  • … существуют системы счисления, в которых 1+1? 2?
  • …число 5 может быть больше, чем число 10?

Как правило, данные факты не знакомы обучающимся, поэтому можно сделать соответствующий вывод о том, зачем необходимо изучать данную тему. Затем формулируются цели урока:

Учитель: Сегодня на уроке мы рассмотрим такие понятия, как система счисления и цифры, познакомимся с историей развития систем счисления, определим разницу между позиционными и непозиционными системами счисления, узнаем, что такое основание позиционной системы счисления и ее алфавит, научимся составлять алфавит любой позиционной системы счисления и считать по порядку в любой позиционной системе счисления.

Этап 3. Изучение нового материала (часть 1)

На данном этапе демонстрируется презентация “История развития систем счисления”, подготовленная группой обучающихся. В презентации должны быть отражены понятия: система счисления, цифры, позиционные и непозиционные системы счисления, основание позиционной системы счисления и алфавит позиционной системы счисления. В процессе знакомства с презентацией, ученики заполняют опорный конспект “Основные понятия” (Приложение2).

Затем необходимо проверить с помощью фронтального опроса правильность заполнения опорного конспекта. Провести первичное закрепление материала с помощью ассоциативных карточек: ученикам выдаются карточки, на которых записаны существительные, относящиеся к основным понятиям темы “Системы счисления” (6 карточек – 6 учеников), ученики должны определить к какому понятию относятся данные существительные и сформулировать это понятие, не пользуясь опорным конспектом.

Правила, приемы, числа, арифметические действия

Ответ: Система счисления – это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются, а также по которым производятся арифметические операции над числами.

Знаки, запись, числа

Ответ: Цифры – это знаки, используемые для записи чисел.

Цифры, количество, позиционная система счисления

Ответ: Основание позиционной системы счисления – это количество цифр, используемых для записи чисел в данной системе счисления.

Цифра, значение (вес), позиция, число, зависимость

Ответ: Позиционная система счисления – это такая система счисления, в которой значение (вес) цифры зависит от ее позиции в записи числа.

Цифра, значение (вес), позиция, число, независимость

Ответ: Непозиционная система счисления – это такая система счисления, в которой значение (вес) цифры не зависит от ее позиции в записи числа.

Позиционная система счисления, цифры

Этап 4. Изучение нового материала (часть 2)

Учитель: В данной теме мы будем изучать различные позиционные системы счисления.

Итак, что является основной характеристикой любой позиционной системы счисления?

Ученики: Основание, т.е. количество цифр, используемых в данной системе счисления.

Учитель: Каково основание арабской системы счисления?

Ученики: 10, т.к. в этой системе используются 10 цифр, от 0 до 9.

Учитель: Правильно, 10. Поэтому арабская система счисления называется десятичной системой счисления. За основание системы счисления можно принять любое натуральное число – 2, 3, 4…. Следовательно, позиционных систем может быть бесконечно много – двоичная, троичная, четверичная… С чего мы начнем их изучение? Вспомните, с чего вы начинали изучать десятичную систему счисления?

Ученики: Учились считать по порядку.

Учитель: А для этого нам нужно:

  1. знать алфавит системы счисления, т.е. те знаки, которые используются для записи чисел в данной системе счисления;
  2. знать правило счета, с помощью которого образуются целые числа в ПСС.

Далее обучающиеся вместе с учителем заполняют опорный конспект “Алфавит различных позиционных систем” (Приложение3):

Система счисленияОснование ( р )Алфавит (при р 36 единых правил для формы записи цифр не существует.)
Десятичная100, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная20, 1
Восьмеричная80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная160, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F
Двенадцатеричная120, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B

Учитель: Перед тем, как знакомиться с правилом счета, необходимо рассмотреть некоторые новые понятия. В любой позиционной системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями:

Нахождение основания системы счисления

Решите уравнение: (5_<10>=101_x)

Переведем 101 в десятичную систему счисления: (101_x=1cdot x^0+0cdot x^1+1cdot x^2=1+x^2)
Теперь подставим в наше уравнение вместо (101_x) полученное выражение и решим квадратное уравнение:
(5=1+x^2)
(4=x^2)
(x=pm2)
Отрицательный корень нам не подходит, т.к. основание системы счисления не может быть отрицательным. Значит, искомое основание равно 2.
Для перепроверки сделаем обратный перевод: (101_2=1cdot2^0+0cdot 2^1+1cdot 2^2=1+0+4=5_<10>)

Решите уравнение: (46_<10>=56_x)

Переведем 56 в десятичную систему счисления: (56_x=6cdot x^0+5cdot x^1=6+5x)
Составим линейное уравнение, решим его:
(46=6+5x)
(40=5x)
(x=8)
Для перепроверки сделаем обратный перевод: (56_8=6cdot8^0+5cdot8^1=46)

Решите уравнение: (17_<10>=32_x)
Ответ запишите в двоичной системе счисления.

Переведем 32 в десятичную систему счисления: (32_x=2cdot x^0+3cdot x^1=2+3x)
Составим линейное уравнение, решим его:
(17=2+3x)
(15=3x)
(x=5)
Теперь переведем искомое основание в двоичную систему счисления: (5_<10>=1cdot2^2+0cdot2^1+1cdot2^0=101_2)

Решите уравнение: (125_8+10_3=323_x)
Ответ запишите в троичной системе счисления.

Для удобства переведем все числа в десятичную систему счисления:
(125_8=5cdot8^0+2cdot8^1+1cdot8^2=5cdot1+2cdot8+1cdot64=5+16+64=85_<10>)
(10_3=0cdot3^0+1cdot3^1=0cdot1+1cdot3=3_<10>)
(323_x=3cdot x^0+2cdot x^1+3cdot x^2=3cdot1+2cdot x+3cdot x^2=(3+2x+3x^2)_<10>)
Теперь, когда все числа находятся в одной системе счисления, можем составить квадратное уранение:
(85+3=3+2x+3x^2)
(3x^2+2x-85=0)
(D=2^2-4cdot3cdot(-85)=4+12cdot85=1024) ; (sqrt D=32)
[left[ begin x=frac<-2+32><2cdot3>=frac<30><6>=5 hfill \ x=frac<-2-32><2cdot3>=-frac<34> <6>Переведем искомое основание в троичную систему счисления: (5_<10>=1cdot3^1+2cdot3^0=12_3) .

Найдите наименьшее основание системы счисления, в которой десятичное число 79 имеет четырехзначную запись.

Если запись числа четырехзначна, максимальное значение числа равно (x^4-1) , где переменная — основание системы счисления. Это можно увидеть на примере с десятичной системой счисления. Максимальное четырехзначное число: (10^4-1=10000-1=9999) , максимальное трехзначное число: (10^3-1=1000-1=999) . Аналогично перебираем другие системы счисления, удовлетворяющие условию задачи:
Двоичная: (2^4-1=15) , слишком мало, запись числа 79 будет состоять более, чем из четырех цифр.
Троичная: (3^4-1=80) . Значит, искомое значение – 3. Для проверки переведем 79 в троичную систему счисления: (79_<10>=2cdot3^3+2cdot3^2+2cdot3^1+1cdot3^0=2221_3) .

Найдите наименьшее основание системы счисления, в которой десятичное число 91 имеет ровно три значащих разряда.

Если запись числа имеет ровно три значащих разряда, то запись числа трехзначна (состоит из трех цифр, не равных нулю). Если запись числа трехзначна, то максимальное значение числа равно (x^3-1) , где переменная — основание системы счисления. Это можно увидеть на примере с десятичной системой счисления. Максимальное четырехзначное число: (10^3-1=1000-1=999) , максимальное двузначное число: (10^2-1=100-1=99) . Аналогично перебираем другие системы счисления, удовлетворяющие условию задачи:
Двоичная: (2^3-1=7) , слишком мало, запись числа 91 будет состоять более, чем из 3-х цифр.
Троичная: (3^3-1=26) , слишком мало, запись числа 91 будет состоять более, чем из 3-х цифр.
Четверичная: (4^3-1=63) , слишком мало, запись числа 91 будет состоять более, чем из 3-х цифр.
Пятеричная: (5^3-1=124) . Значит, искомое основание — 5. Для проверки переведем (91_<10>=3cdot5^2+3cdot5^1+1cdot5^0=331_5)

Тема «Системы счисления»
презентация к уроку по информатике и икт (8 класс)

5 уроков по теме «Системы счисления». Разработка и презентация. Прилагается решение примеров из раздела «Проверка знаний».

Скачать:

ВложениеРазмер
rogova_630.ppt836.5 КБ
rogova_proverka_znaniy_resheniya.doc49.5 КБ
rogova_razrabotka_urokov.doc83 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Работа учителя информатики школы № 630 Роговой Ирины Викторовны

СОДЕРЖАНИЕ Системы счисления Формула разложения числа по степеням основания Перевод чисел из одной системы счисления в другую Алгоритмы перевода из одной системы счисления в другую Проверка знаний

C истемы счисления Система счисления – это совокупность символов, используемых для изображения чисел. Система счисления включает в себя: алфавит, т. е. набор символов для записи чисел, способ записи чисел, способ чтения чисел. Они делятся на два класса: позиционные и непозиционные Позиционные системы счисления – это системы, в которых величина цифры определяется ее положением (позицией) в числе. Позиция цифр называется разрядом числа. Позиционные системы счисления различают по их основаниям , где о снование – это число цифр, используемых в системах счисления . Например: двоичная система счисления ( А 2 ), восьмеричная система счисления ( А 8 ) т.д. Непозиционные системы счисления – это системы, в которых величина цифры не определяется ее положением (позицией) в числе. Например: римская система счисления ( II , V , XII )

I 1 XI 11 XXI 21 II 2 XII 12 XXV 25 III 3 XIII 13 XXX 30 IV 4 XIV 14 XL 40 V 5 XV 15 L 50 VI 6 XVI 16 LX 60 VII 7 XVII 17 XC 90 VIII 8 XVIII 18 C 100 IX 9 XIX 19 D 500 X 10 XX 20 M 1000 Римские числа

Правила записи и чтения римских чисел Буква, повторяющаяся дважды или трижды, удваивает или утраивает свое значение (СС — 200). Одна или более букв, помещенных после другой большего значения, увеличивает это значение на величину более мелкой ( XI – 11, DCC — 700). Буква, помещенная перед другой буквой большего значения, уменьшает это значение на величину этой буквы ( XC – 90, XL – 40). Горизонтальная черта, помещенная над буквой, повышает ее значение в 1000 раз.

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления . Алфавит двоичной системы счисления состоит из 0 и 1 Достоинства 2 с/с: Простота кодирования; Простота арифметических действий; Простота записи, хранения и передачи техническими средствами. Недостатки 2 с/с: Много места занимает запись числа; Трудоемкость перевода в 10 с/с и наоборот. Основание м , служит цифра 2 Двоичная система счисления

Восьмеричная система счисления Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Основание м является цифра 8 Шестнадцатеричная система счисления Алфавит:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Основание м является цифра 16 8 10 =10 8 Например: 276 8 16 10 =10 16 Например: 26 A7 16

Рассмотрим, для примера, десятичное число 3745 . Его можно записать несколькими способами, не изменяя его количества. А 10 = 3745 А 10 = 3000 + 700 + 40 + 5 А 10 = 3 x 1000 + 7 x 100 + 4 x 10 + 5 А 10 = 3 x 10 3 + 7 x 10 2 + 4 x 10 1 + 5 x 10 0 (любое число в степени 0 равно 1) Последнюю запись называют разложением по степеням основания. Формула разложения числа по степеням основания

Формула разложения по степеням основания показывает, что число можно представить в виде суммы цифр, которые в свою очередь, равны произведению цифры на основание в степени, равной номеру разряда. При разложении целых чисел нумерация разрядов идет справа налево, начиная с « 0 » . А р = а n р n + … +а 1 р 1 +а 0 p 0

Алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в любую позиционную систему счисления с основанием q (2, 8, 16) Делим число на основание системы счисления нацело (остаток должен быть меньше основания). Если частное больше основания системы счисления, то повторить шаг 1. Если частное меньше основания, то записываем число из остатков, начиная с последнего частного, справа налево.

Алгоритм перевода целого числа из системы счисления с основанием q (2, 8, 16) в десятичную систему счисления 1. Определяем разряд каждой цифры в числе (разряды выставляются строго над цифрами справа налево, начиная с нуля) 2. Умножаем цифру числа на основание в степени, равной номеру разряда. 3. Суммируем все произведения.

Перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. Перевод числа из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. Перевод числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. Перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления. Перевод числа из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления. Перевод числа из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления. Выберите тот вариант перевода чисел, с которым вы хотели бы познакомиться

1. Чтобы число 124 перевести из 10 сс в 2 сс надо это число делить на 2 (основание сс) до тех пор, пока остатком деления не окажется число меньше 2 (1 или 0) . 124 2 62 124 0 2 62 31 0 2 15 30 1 2 7 14 1 2 3 6 1 2 1 1 2 2. Выписываем все остатки (справа налево) начиная с частного, следовательно 124 10 1 1 1 1 1 0 0 2 =

1. Для того, чтобы перевести число из 2 сс в 10 сс, надо представить его в виде суммы п роизведени й цифры на основание в степени, равной номеру разряда. (п ри разложении целых чисел нумерация разрядов идет справа налево, начиная с « 0 » ) 1 1 0 0 1 = 4 3 2 1 0 1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 16+ = 8+ 1 = 25 10 Получаем, что 11001 2 = 25 10 1*2 0 =

1.Чтобы число 124 перевести из 10 сс в 8 сс надо это число делить на 8 (основание сс) до тех пор, пока остатком деления не окажется число меньше 8 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) . 124 120 8 15 4 8 1 8 7 2. Выписываем все остатки (справа налево) начиная с частного, следовательно 124 10 = 1 7 4 8

1.Чтобы число 395 перевести из 10 сс в 16 сс надо это число делить на 16 (основание сс) до тех пор, пока остатком деления не окажется число меньше 16 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F ) . 395 16 384 11 24 16 1 16 8 2. Выписываем все остатки (справа налево) начиная с частного, следовательно 395 10 = 1 8 B 16

1. Для того, чтобы перевести число из 8 сс в 10 сс, надо представить его в виде суммы п роизведени й цифры на основание в степени, равной номеру разряда. (п ри разложении целых чисел нумерация разрядов идет справа налево, начиная с « 0 ») 6 1 3 2 1 0 = 6*8 2 + 1*8 1 + 3*8 0 = = 384 + 8 3 + = 395 10 2. Получаем, что 613 8 = 395 10

Для того, чтобы перевести число из 16 сс в 10 сс, надо представить его в виде суммы п роизведени й цифры на основание в степени, равной номеру разряда. (п ри разложении целых чисел нумерация разрядов идет справа налево, начиная с « 0 ») А 7 F 5 16 = A * 16 3 + 7 * 16 2 + 3 2 1 0 F * 16 1 + + 5 * 16 0 = 10 * 4096 + + 7 * 256 + 15 * 16 + 5 * 1 = 42997 10 2. Получаем, что A7F5 16 = 42997 10

Перевод числа из 10 сс в 2 сс Перевод числа из 10 сс в 8 сс Перевод числа из 10 сс в 16 сс Перевод числа из 2 сс в 10 сс Перевод числа из 8 сс в 10 сс Перевод числа из 16 сс в 10 сс Хотите себя проверить? Для этого выберите тот вариант перевода, в котором вы хотели бы закрепить свои знания или загрузите тест Загрузить тест

4) 489 10 1 ) 125 10 а) 1111101 2 б) 1010101 2 г) 1101100 2 в) 1111001 2 2 ) 543 10 а) 1111100 11 2 в) 10 000 111 11 2 б) 1111001 001 2 г) 1101100 010 2 3) 131 10 а) 1111100 1 2 а) 111110 11 0 2 б) 10 0 0 0 01 1 2 б) 101010 10 1 2 г) 11110 10 01 2 в) 1111001 0 2 в) 1101100 00 2 г) 1 0 101100 2

4) 11001110 2 1) 111111 2 а) 61 в) 63 г) 141 2) 10001101 2 а) 140 б) 64 б) 150 в) 145 3) 111101 2 а) 61 а) 206 б) 59 б) 602 в) 60 в) 208 г) 62 г) 65 г) 205 2 0 = 1 2 1 = 2 2 2 = 4 2 3 = 8 2 4 =16 2 5 =32 2 6 =64 2 7 =128 2 8 =256 2 9 =512 2 10 =1024

Попробуйте еще раз.

Попробуйте еще раз.

Попробуйте еще раз.

1) 613 8 а) 359 10 б) 395 10 в) 358 10 г) 360 10 2 ) 24 8 3 ) 100 8 4 ) 154 8 а) 20 10 а) 56 10 а) 117 10 б) 25 10 б) 100 10 б) 198 10 в) 30 10 в) 64 10 в) 104 10 г) 36 10 г) 68 10 г) 108 10 8 0 = 1 8 1 = 8 8 2 =64 8 3 = 512 8 4 =4096 8 5 =32768

1 ) 7F5 16 2 ) 10А 16 3 ) B0E 16 4 ) 120 16 а) 2038 10 б) 2037 10 в) 2073 10 г) 2036 10 а) 228 10 а) 2830 10 а) 300 10 б) 212 10 б) 1865 10 б) 267 10 в) 237 10 в) 2967 10 в) 288 10 г) 266 10 г) 2525 10 г) 280 10 1 6 0 = 1 16 1 = 16 16 2 = 256 16 3 = 4096 16 4 = 65536

Попробуйте еще раз.

1 ) 12 10 2 ) 235 10 3 ) 1768 10 4 ) 895 10 а) 16 8 б) 14 8 а) 535 8 а) 3416 8 а) 1577 8 в) 15 8 г) 20 8 б) 314 8 б) 2314 8 б) 1304 8 в) 134 8 в) 3350 8 в) 1532 8 г) 353 8 г) 2780 8 г) 1520 8

1 ) 54 10 2 ) 125 10 3 ) 3758 10 4 ) 5216 10 а) 36 16 б) 46 16 в) 26 16 г) 56 16 а) A2 16 а) AEE 16 а) 150 5 16 б) 7D 16 б) 1600 16 б) DA1 16 в) 5F 16 в) B 17 A 16 в) EAE 16 г) 59 16 г) CA1 16 г) 1460 16

Попробуйте еще раз.

Попробуйте еще раз.

Загрузить тест? Проверить уровень полученных знаний и получить оценку можно пройдя тест

Системы счисления и действия в них

Алфавит Х из р символов и правила записи (изображения) и обработки чисел с помощью символов этого алфавита называются системой счисления (нумерацией) с основанием р . Число х в системе с основанием р обозначается как (х)р или хр .

Любая система счисления – это система кодирования числовых величин (количеств), позволяющая выполнять операции кодирования и декодирования, то есть по любой количественной величине однозначно находить его кодовое представление и по любой кодовой записи – восстанавливать соответствующую ей числовую величину.

Все системы счисления строятся по общему принципу: определяется величина р – основание системы , а любое число х записывается в виде комбинации степеней веса р от 0-й до n-й степени следующим образом:

Наиболее используемые в информатике системы счисления , кроме, естественно, десятичной, – это: 1) двоичная, над алфавитом Х = <0,1>; 2) восьмеричная, над Х = <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7>; 3) шестнадцатеричная, над Х = <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F>, где символы А, В, С, D, Е, F имеют, соответственно, десятичные веса 10, 11, 12, 13, 14, 15 .

Пример. 11012 = 1 x 2 3 + 1 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 = 8 + 4 + 1 = 1310 ,

1578 = 1 x 8 2 + 5 x 8 1 + 7 x 8 0 = 64 + 40 + 7 = 11110 ,

A6F16 = 10 x 256 + 6 x 16 + 15 x 1 = 267110 .

В большинстве систем счисления вес цифры (или символа алфавита) зависит от ее места в записи числа или слова. Такая система счисления называется позиционной ; в противном случае система называется непозиционной.

Пример. Непозиционная система – древняя римская система записи чисел с алфавитом вида Х= , где в скобках указаны веса символов (не зависящие от позиции символа). Примеры римских чисел (в скобках – обычные десятичные эквиваленты): III (3), IV (4), V (5), VI (6), IX (9), XI (11), DCL (650) . Запись числа в этой системе получается двусторонней конкатенацией, причем правая конкатенация ассоциируется с добавлением, а левая конкатенация – с убавлением (например, IV и VI ). Поразрядное же выполнение арифметических операций не имеет места (например, XIV + IV = XVIII ).

Для изображения десятичных дробей используется подобная формула разложения по степеням основания.

Пример. 110,0012 = 1×2 2 + 1 x 2 1 + 0 x 2 0 + 0 x 2 -1 + 0 x 2 -2 + 1 x 2 -3 = 6,12510 ;

A,B16 = A x 16 0 + B x 16 -1 = 10 x 1 + 11 x 0,0625 = 10,687510 .

Процедура перевода десятичных чисел в р-ную систему счисления :

  1. перевести отдельно целую часть числа х , для чего последовательно делить сперва целую часть [х]10 , а затем все частные (получаемые при делении) на р до тех пор, пока не получим в очередном частном число меньшее р ; изображение [х]p получается последовательным приписыванием к последнему частному остатков от деления – от последнего до первого;
  2. перевести отдельно дробную часть (мантиссу) числа, то есть 10 , для чего последовательно умножать сперва исходную мантиссу, а затем мантиссы получаемых чисел на р до тех пор, пока не получим мантиссу, равную нулю, или нужное количество цифр в <х>p ; изображение <х>p получается приписыванием к целой части первого произведения второй такой же цифры и т.д., до последней цифры целой части;
  3. результат будет иметь вид (х)р = [х]p, <х>p .

Пример. Найти: 12,810 = ?2 . Решение:

  1. Переводим целую часть: 1210 =11002;
  2. переводим дробную часть: 0,8 x 2 = 1,6; 0,6 x 2 = 1,2; 0,2 x 2 = 0,4; 0,4 x 2 = 0,8; 0,810 = 0,1100110. 2 ;
  3. результат перевода : 12,810 = 1100,1100110011. 2 .

Пример. Найдем 79,2610 = ?16 . Решение: 1) 7910 = 4F16 ; 2) 0,2610 = 0,4016 ; 3) 79,2610 = 4F,416 . При переводе дробной части мы ограничились нахождением двух значащих цифр после запятой, ибо перевод точно сделать невозможно.

Для перевода из 2-ной в 8-ную и наоборот, из 2-ной в 16-ную и наоборот, из 8-ной в 16-ную и обратно, используется таблица следующего вида:

ОСНОВАНИЕ СИСТЕМЫ

102816
0000000
110010001
20100010
30110011
41000100
51010101
61100110
71110111
81000
91001
101010
111011
121100
131101
141110
151111

При переводе в 8-ную систему или из нее необходимо группировать в тройки биты, а при переводе в 16-ную или из нее – группировать их в четверки битов. Можно добавлять, если нужно, незначащие нули (слева от целой части и справа от мантиссы) или отбрасывать их.

Пример. Рассмотрим переводы в смешанных системах .

Из 2-ной системы в 8-ную (двоично-восьмеричное изображение):

из 8-ной системы в 2–ную (восьмерично-двоичное изображение):

из 2-ной системы в 16-ную (двоично-шестнадцатеричное изображение):

из 16-ной системы в 2-ную (шестнадцатерично-двоичное изображение):

Сложение в двоичной системе счисления осуществляется по правилам

0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 210 = 102 ( единица идет в старший разряд).

Таблица вычитания в двоичной системе счисления имеет вид

0 – 0 = 0, 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0, 0 – 1 = 10 – 1 = 1 (единицу забираем у старшего разряда).

Таблица умножения в двоичной системе счисления имеет вид

0 x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1 x 0 = 0, 1 x 1 = 1 .

Таблица деления в двоичной системе счисления имеет вид

0 : 0 = не определено, 1 : 0 = не определено, 0 : 1 = 0, 1 : 1 = 1 .

Читать еще:  Владимир Миронов: Почему продолжают уезжать ученые?

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector